Los polígonos son figuras formadas por segmentos de recta, de tal manera que: 1) Los segmentos se juntan sólo en sus extremos, 2) como máximo, dos segmentos se encuentran en un punto, y 3) cada segmento toca exactamente a otros dos.

Lados del polígono: segmentos rectilíneos que forman el contorno. Vértices del polígono: puntos donde se unen dos lados consecutivos del polígono. Ángulos interiores del polígono: formados por cada dos lados consecutivos. Diagonal del polígono: segmento que une dos vértices que no son consecutivos.

 

Los segmentos que forman el polígono son sus lados, y sus puntos de unión son sus vértices.

Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que conecta dos vértices no consecutivos.

Un polígono es convexo si no hay diagonal fuera del polígono. Un polígono es cóncavo si hay una diagonal fuera del polígono.

Un polígono equilátero es un polígono en el que todos sus lados son iguales. Un polígono
equiángulo es un polígono en el que todos sus ángulos son iguales. Un polígono regular es tanto equilátero como equiángulo, es decir, tiene sus lados y ángulo iguales.

EJERCICIOS:

• El polígono representado tiene cinco .

• En el polígono se han trazado tres .

• El polígono  se clasifica como un polígono .

• El polígono  acorde al número de lados, recibe el nombre de .

 

El polígono  es irregular y .

El polígono  es  y convexo.

El polígono  es  y convexo.

 

Analizaremos las características y propiedades de los polígonos y circunferencia para desarrollar y presentar argumentos inductivos y deductivos sobre relaciones geométricas y las aplica en diversos contextos teóricos o prácticos de una manera critica y reflexiva

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

Ley de los cosenos. … La ley de los cosenos establece: c ² = a ² + b ² – 2 ab cos C . Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras.

 

EJERCICIOS:

a = 5, c = 8, β =77°

EJERCICIOS:

1. En la identidad
sen(α + β) = sen α cos β + sen β cos α,
sustituye β por α para obtener sen(α + α)
y comprueba que:
sen 2α = 2 sen α cos α
2. En la identidad
sen(α + β) = sen α cos β + sen β cos α,
sustituye β por – β para obtener sen(α – β)
y comprueba que:
sen(α – β) = sen α cos β – sen β cos α

Las identidades trigonométricas son igualdades que se cumplen para todos los valores posibles del argumento (en nuestro caso, para todos los valores posibles que puede tomar el ángulo). Entendemos por valores posibles aquellos para los cuales sí están definidas las razones trigonométricas.

Relación entre el seno y la cosecante                 =              sen A.csc A = 1
Relación entre el coseno y la secante                   =           cos A.sec A = 1
Relación entre la tangente y la cotangente           =          tan A.cot A = 1

EJERCICIOS:

Graficar la función seno, significa trazar la gráfica correspondiente a la ecuación y = sen x. Recuerda que en ecuaciones como ésta, al sustituir valores de x, se calculan valores correspondientes de y. Es decir, existe una dependencia entre los valores de y y los de x. Es, esencialmente por esta dependencia, que se llama función seno. Cada pareja de valores forman un par ordenado (x, y). Estas parejas ordenadas, se colocan en un plano coordenado cartesiano donde la x será la abscisa y, y la ordenada; posteriormente
unimos estos puntos, con lo cual obtenemos la gráfica de la ecuación, en este caso de y = sen x.

¿Cómo trazar la curva?
Observa que a diferencia del seno y coseno, aquí no se aprecia de manera directa un patrón definido.
¿Podemos unir los puntos 1 y 2? Debemos tener muy presente que la función tangente, no está definida
para .
Por lo tanto, no existe ningún punto arriba de por lo que, no pueden conectarse los puntos 1 y 2.
Lo mismo puede decirse para y sus puntos vecinos.
Vamos a revisar qué sucede con valores cercanos a = 90°.
Comprueba los siguientes valores:
tan 83° = 8.1
tan 84° = 9.5
tan 85° = 11.4
tan 88° = 28.6
tan 89° = 57.3
tan 89.9° = 573
tan 89.99° = 5729.5
tan 89.999° = 57295
¿Qué valor crees que tiene tan 89.99999999?_____________
Observando lo anterior, notamos que el valor de y = tan x crece sin límite cuando los valores de x se acercan cada vez más a ; es decir, crecen indefinidamente.
Para valores mayores que pero muy cercanos a él (por ejemplo 90.01°), puede comprobarse que se presenta un decrecimiento también sin límite. Este comportamiento también se presenta para y en general en todo punto en donde la tangente no esté definida.
Uniendo los puntos cuyas coordenadas se dan en la tabla, y que ya fueron localizados en el plano, y considerando el comportamiento de la función para valores cercanos a , se obtiene la siguiente gráfica para y = tan x en el intervalo de 0 a 2π:

 

 

EJERCICIOS:

1. Abre Geogebra; observa que en la parte inferior aparece una barra etiquetada como «entrada».
2. Da clic en la barra y escribe: y = sen(x) y enter; automáticamente aparecerá la gráfica de la función
y = sen(x). Debes tener en cuenta que los valores que aparecen en el eje horizontal (valores del ángulo representado por x), están en radianes.
3. Ahora, escribe en la barra «entrada» las funciones y = 2sen(x), y = 3sen(x) y y = 4sen(x).
¿Qué observas? ¿Qué puede decirse de las gráficas de y = asen(x)? Compara estas gráficas con la gráfica de y = sen(x). Escribe tus conclusiones.
4. A continuación, escribe en la barra «entrada» las funciones y = sen(x) +1, y = sen(x) + 2, y = sen (x)
3, y = sen(x) -1, y = sen(x) – 2 e y = sen(x) -3. ¿Qué observas? ¿Qué puede decirse de las gráficas de y = sen(x) + a? Compara estas gráficas con la gráfica de y = sen(x). Escribe tus conclusiones.
5. Repite los pasos 2 a 4, para la función y = cos(x).
6. Repite los pasos 2 a 4, para la función y = tan(x).

Función seno: positivo en el 1er y 2 do cuadrante; negativo en 3ro y 4to.

Función coseno: positivo en el 1er y 4to cuadrante; negativo en el 2do y 3ro.

Función tangente: positivo en el 1er y 3er cuadrante; negativo en el 2do y 4to.

 

El ángulo de referencia o ángulo reducido, es el ángulo agudo que forma el lado terminal de un ángulo en posición normal con el eje X de un sistema de coordenadas.

A continuación, estableceremos cómo se combinan los ángulos de referencia y los signos de las funciones
trigonométricas en cada cuadrante. Ésto, nos permitirá hacer dos cálculos:
1. Calcular valores de razones trigonométricas (sin necesidad de una calculadora científica) para
cualquier ángulo mayor que 90°, y ángulos negativos.
2. Resolver ecuaciones trigonométricas.
El primer caso se desarrollará a continuación y el segundo en la próxima sección.
Cálculo de valores de funciones trigonométricas para cualquier ángulo. Se trata de calcular los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo a partir de su ángulo de referencia (que es un ángulo agudo).

Ahora, a partir de las definiciones de las funciones trigonométricas, determinaremos los valores de éstas para 0°, 90°, 180° y 270°

 

 

 

Ejercicio:

Completa la siguiente tabla:

Las razones trigonométricas son funciones que describen relaciones entre los lados de los triángulos rectángulos y sus ángulos internos. Las razones trigonométricas se manejan como sinónimos de las funciones trigonométricas. Sin embargo, existen diferencias sutiles entre ambos conceptos. En primer lugar, la razón trigonométrica, tal como ha sido definida, está asociada a un triángulo rectángulo, y por consiguiente, el ángulo que la genera está dentro del rango 0-90º, cosa que no ocurre cuando se maneja el concepto de función. Por otra parte, una razón trigonométrica específica puede interpretarse como un caso de relación entre los lados de un triángulo, en cambio, la función trigonométrica conceptualmente hace un mayor énfasis en la relación de dependencia de las variables, misma que puede ser expresada a través de alguna igualdad relacionada con las razones trigonométricas; integrando así, los
dos conceptos básicos: razón trigonométrica y función en uno sólo.

Existen dos formas de medir un ángulo de rotación:
Medida en grados: es la forma que hemos manejado hasta el momento. Recuerda que la circunferencia
de un círculo se divide en 360 partes; por lo tanto, un ángulo de una vuelta mide 360°.
Un ángulo de 1 vuelta mide 180°, de 1 de vuelta mide 90°, y así sucesivamente.

Un grado es 1/36  del ángulo de una vuelta.
1 grado es  1/36 parte de la circunferencia

Medida en radiantes: un radian es un ángulo que intercepta un arco de igual longitud que el radio del círculo

Así pues, la medida de un ángulo de una vuelta completa
de la circunferencia es igual 2π radianes.
En una circunferencia hay 2π radianes. Esto es:
2(3.1416) = 6.2832 radianes.

Pero, como una vuelta completa en una circunferencia es también de 360°, entonces podemos establecer las siguientes igualdades:

2π radiantes = 360°                                        360° = 2π radiantes.

2π radiantes / 2π = 360º / 2π                             360º / 360º=2π radiantes / 2π

1 radián = 180° / π = 57.3º                            1º =  π / 180º radiantes

Para convertir los grados sexagesimales en radiantes,
es suficiente multiplicar por π / 180

Para convertir los radianes en grados, es suficiente
multiplicar por 180°/ π