El perímetro de un polígono regular es la suma de sus n lados.
P = ℓ + ℓ + … + ℓ = n veces ℓ = nℓ

Apotema de un polígono regular es el segmento perpendicular trazado
desde el centro del polígono a uno de sus lados. La apotema es
la mediatriz del lado correspondiente. Las apotemas de un polígono
regular son iguales.

Área de un polígono regular. El área de un polígono regular es
igual a perímetro por apotema sobre dos.

EJERCICIOS:

Calcular el área de un cuadrado si el radio de la circunferencia circunscrita
a él es de 10 cm.

Si el área de un cuadrado es 81, calcular:
a) Su lado.
b) Su perímetro
c) El radio de la circunferencia inscrita.
d) El radio de la circunferencia circunscrita.

El área de una figura plana es el número de unidades cuadradas que pueden acomodarse de manera que llenen la figura completamente.

Área de un rectángulo. El área de un rectángulo
de base b y altura h está dada por la fórmula bh.

Sigue los pasos para para formar un rectángulo a partir de un paralelogramo.
Paso 1. Traza la altura en el punto indicado

Paso 2. Recorta el triángulo formado y colócalo en el otro
extremo. De esta manera se forma un rectángulo. ¿Cómo son
las áreas del paralelogramo y del rectángulo? Debes observar
que la base y la altura del rectángulo son iguales que la base y
la altura del paralelogramo original.

A continuación sigue los pasos siguientes para descubrir la fórmula del área de un triángulo.
Paso 1. Dibuja un rectángulo y un paralelogramo. Traza en ambas figuras una diagonal. De esta forma cada figura queda dividida en dos triángulos congruentes y por consiguiente triángulos de igual área.

Paso 2. Traza la altura en cada figura. Observa que, tanto la base como la altura del rectángulo y del paralelogramo
coinciden con las de los triángulos en los que se han dividido. Con las observaciones hechas,
y considerando que tanto el área del rectángulo como del paralelogramo es base × altura, escribe una
expresión para el área de uno de los triángulos. ______________

 

 

 

Para poder hablar de rectas y segmentos en la circunferencia primero se maneja el concepto de circunferencia que es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto llamado centro.
Las rectas y segmentos de la circunferencia son: radio, diámetro, cuerda, tangente, secante y arco

Al trabajar las rectas y segmentos en la circunferencia hay que tener presente los siguientes teoremas:

•         El diámetro divide a la circunferencia y al círculo en dos partes iguales.
•     El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia.
• ·  En una circunferencia, o en circunferencias iguales, a cuerdas iguales corresponden arcos iguales, y si dos cuerdas son desiguales, a la mayor corresponde mayor arco.
• ·  La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto.

 

Los ángulos centrales, los ángulos inscritos y los semiinscritos están relacionados.

 

La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende igual arco.

Los ángulos inscritos que cortan el mismo arco son iguales

Los ángulos inscritos en una semicircunferencia miden 90°.

La medida de un ángulo semiinscrito en una circunferencia es la mitad de la medida del ángulo
central que subtiende igual arco

 

EJERCICIOS:

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están
en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior
fijo que se llama centro de la circunferencia. El círculo es la
superficie del plano limitado por una circunferencia. La circunferencia
es una línea y el círculo una región. Para referirse a una circunferencia o a un círculo, se usa el signo O, que se lee circunferencia (o círculo) con centro O. Para distinguir si se trata de un circunferencia o un círculo con centro O, debemos atender el contexto de uso.

SEGMENTOS:

Cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.
Diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un
punto cualquiera de la misma

RECTAS:

Tangente es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto se llama punto de tangencia.
Secante es la recta que corta a la circunferencia en dos
puntos.

Arco es una parte de la circunferencia. Un arco se representa con el símbolo que se lee «arco».
Semicircunferencia es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia.
Arco menor es aquel que mide menos que una semicircunferencia.
Arco mayor es aquel que mide más que una semicircunferencia.

Ángulo central es aquel que está formado por dos radios. Los ángulos centrales tienen su vértice en el centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes de la circunferencia.
Ángulo semiinscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es secante y el otro es tangente.

EJERCICIO;

 1.- Calcula la longitud del arco de una circunferencia correspondiente a  un ángulo de 50º siendo 4 cm., el radio de la circunferencia.

2.-¿Qué longitud de arco corresponden a 30º en una circunferencia de 8 cm., de radio?

Un trapecio es un cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases. Un par de ángulos que comparten una base como lado
común se llaman ángulos de la base.

Un trapecio isósceles es un trapecio cuyos lados no
paralelos son de la misma longitud.

Propiedad de los ángulos consecutivos de un trapecio: los ángulos
consecutivos que están entre las bases de un trapecio son suplementarios.

Propiedad del trapecio isósceles: los ángulos de la base de un trapecio isósceles son iguales.

EJERCICIOS:

Rombos, rectángulos y cuadrados todos son paralelogramos. Por lo tanto, todas las
propiedades de los paralelogramos que se descubrieron en la lección anterior también se aplican a esas otras formas. Pero, debido a que estos paralelogramos especiales tienen características particulares, también cumplen con propiedades particulares. En esta lección descubrirás estas nuevas propiedades.

Propiedades de los rombos:
1. Puesto que los rombos son paralelogramos y las diagonales de un paralelogramo se bisecan una a otra, las diagonales de los rombos también se bisecan una a otra.
2. Mide los ángulos formados por las dos diagonales.
Propiedad de las diagonales de un rombo: las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí; además, se bisecan entre sí.
3. Ahora, mide los ángulos formados por las diagonales y los lados del rombo.

Propiedad de los ángulos de un rombo: las diagonales de los rombos son bisectrices de los ángulos del rombo.

EJERCICIOS:

En los ejercicios 2-11, indica si cada oración es siempre verdadera, algunas veces, o nunca verdadera. Usa dibujos o explicaciones de apoyo.
2. Las diagonales de un paralelogramo son iguales.
3. Los ángulos consecutivos de un rectángulo son iguales y suplementarios.
4. Las diagonales de un rectángulo se bisecan una a otra.
5. Las diagonales de un rectángulo bisectan los ángulos.
6. Las diagonales de un cuadrado son bisectores perpendiculares una a otra.
7. Un rombo es un cuadrado.
8. Un cuadrado es un rectángulo.
9. Una diagonal divide a un cuadrado en dos triángulos rectángulos isósceles.
10. Ángulos opuestos en un paralelogramo son congruentes.
11. Ángulos consecutivos de un paralelogramo son congruentes.

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Propiedad de los ángulos opuestos de un paralelogramo:
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

Propiedad de los ángulos consecutivos de un paralelogramo: Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.

Propiedad de los lados opuestos de un paralelogramo: Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

Propiedad de las diagonales de un paralelogramo: Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí.

Lee con atención la definición de segmento medio de un triángulo.
El segmento medio de un triángulo, es un segmento que conecta
los puntos medios de dos lados del triángulo.
El lado que no interseca al segmento medio se llama tercer lado.

EJERCICIOS:

En el paralelogramo ABCD, el ángulo A
nBD es recto; BH = 12 cm y AB = 15 cm . Calcular el
área y el perímetro del paralelogramo

Propiedad de la suma de los ángulos de un polígono: La suma de las medidas de los n
ángulos interiores de un polígono de n-lados es 180° × (n – 2)

Ángulo interior de un polígono regular. Cada ángulo de un polígono regular de n lados mide:
180° × (n – 2)/ n

El polígono tiene siete lados.
Por lo tanto la suma de sus ángulos interiores es 180° × (7 – 2) = 180° × 5 = 900°.
Como todos los ángulos tienen la misma medida, la medida del ángulo m es:
900°/7
Primeramente, puede observarse que el suplemento del ángulo
de 60° es un ángulo interior del polígono. El polígono tiene cinco
lados. Por lo tanto la suma de sus ángulos interiores es
180° × (5 – 2) = 180°×3 = 540°.
Entonces, 90° + 120° + 110° + 95° + x = 540°. Resolviendo para
x, se obtiene x = 125°.= 128.6°

Se llama así cualquier cuadrilátero en el cual una de sus diagonales sirve de eje de simetría. Por ejemplo: el rombo, el deltoide, el cuadrado. El rectángulo es un cuadrilátero que simultáneamente cumple las características de: Paralelogramo, al ser paralelos sus lados opuestos.

• Un paralelogramo es un cuadrilátero con ambos pares de lados opuestos paralelos.
• Un trapecio es un cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos.
• Un trapezoide es un cuadrilátero que no tiene algún par de lados opuestos paralelos.

Un romboide es un paralelogramo sin ningún par de lados adyacentes ni de ángulos consecutivos iguales.
• Un rombo es un paralelogramo con cuatro lados iguales.
• Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos.
• Un cuadrado es un paralelogramo con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.

Sin embargo, un cuadrado es un tipo especial de rombo y un tipo especial de rectángulo, así que el cuadrado admite otras definiciones. Por ejemplo:
• Un cuadrado es un rombo con cuatro ángulos rectos.
• Un cuadrado es un rectángulo con cuatro lados iguales.
Ésta otra definición también es posible:
• Un cuadrado es un rombo que también es un rectángulo.

EJERCICIOS:

Contesta las siguientes preguntas: ¿Qué tienen en común los romboides? ________________
_________________ ¿Qué características tienen los rombos? ____________________
__________________ ¿ Y los cuadrados?__________________________________